Was sind Fraktale?

Aus der Schule kennen Sie das Bruchrechnen: Brüche sind Darstellungen für Zahlen, die zwischen den „ganzen“ Zahlen (1, 2, 3 usw.) liegen. So liegt z.B. 3/2 zwischen 1 und 2. Einen (Knochen-)Bruch bezeichnet man in der Medizin als Fraktur, vom lateinischen Wort dafür. Das gleiche Wort bezeichnet auch die „gebrochene“ altdeutsche Schrift. Gewöhnliche Dinge haben -- so sagt man -- drei Dimensionen: Länge, Breite und Höhe. Flächen haben zwei Dimensionen, Strecken nur eine, und ein Punkt hat die Dimension Null. Fraktale haben -- daher der Name -- eine fraktale, also „gebrochene“ Dimension, also eine Dimension, die zwischen zwei ganzen Zahlen liegt. Wie kann das angehen? Als Beispiel kann eine zerklüftete Küstenlinie dienen, beispielsweise die von Norwegen. Wie bestimmt man ihre Länge? Wenn man versucht, sie zu messen, stellt man fest, dass die Länge davon abhängt, welchen Maßstab die Landkarte hat, auf der man das versucht. Die Küstenlänge wird umso größer, je größer der Maßstab der Karte ist. Auch wenn man das in der Natur versucht, ergibt sich eine größere Länge, wenn man mit einem Zentimetermaß misst, als wenn man einen Meterstab anlegt. Mit Hilfe der Mathematik kann man aus den Messergebnissen bei verschiedenen Maßstäben eine gebrochene Dimension ausrechnen, die zwischen eins und zwei liegt. Die norwegische Küste ist also ein Fraktal!
Auch Fraktale mit einer Dimension zwischen zwei und drei findet man in der Natur, zum Beispiel die Oberfläche der Gemüseart Romanesco (Bild rechts). Daran kann man auch eine wichtige Eigenschaft der Fraktale erkennen: sie sind selbstähnlich, das heißt die gleichen Formen wiederholen sich auf verschiedenen Größenskalen. Von Weitem betrachtet erscheint ein Romanesco-Kopf kegelförmig, von Näherem sieht man, dass auf diesen Kegeln lauter kleinere Kegel aufgesetzt sind, und wenn man noch näher hinschaut, ist jeder kleinere Kegel wieder mit noch kleineren Kegeln besetzt, und so weiter.

In der Natur geht es natürlich nicht unbegrenzt so weiter -- aber in der Mathematik kann man das immer weiter treiben. Das bekannteste Fraktal in der Mathematik ist das sogenannte "Apfelmännchen" - nein, nicht das im Bild links! Ein Apfelmännchen wie im linken Bild war wohl nur der Namensgeber für das fraktale "Apfelmännchen", das Sie im unteren Bild sehen. Es heißt eigentlich Mandelbrotmenge zur komplexen Funktion z² + c, benannt nach dem französischen Mathematiker Benoît Mandelbrot (*1924). Fraktal daran ist der Rand: er ist so zerklüftet, dass er eine Dimension zwischen eins und zwei hat. Berechnet man kleinere Ausschnitte der Randlinie, so erkennt man, dass sich das Motiv des Apfelmännchens in den Verästelungen der Randlinie vielfach in allen Größen wiederholt, was man auch im Bild unten ansatzweise erkennen kann. Wenn Sie auf das untenstehende Bild klicken, sehen Sie eine Diashow, die diesen Sachverhalt verdeutlicht.

Aber es gibt noch unendlich viele andere Fraktale. Ein Teil davon sind Mandelbrot-Mengen zu verschiedenen mathematischen Funktionen. Ändert man die Berechnungsvorschrift, so kann man Abbildungen (im mathematischen Sinne) von Mandelbrot-Mengen erzeugen, die zwar mathematisch nichts neues bringen, aber ästhetisch!

Der Begriff Fraktal ist in der letzten Zeit ziemlich verwässert worden und wird für allerlei Bilder verwendet, die man mit dem Computer berechnen kann. Alle meine hier und in der Fraktal-Galerie gezeigten Bilder sind echte Fraktale im mathematischen Sinne und nur aufgrund jeweils einer einzigen Berechnungsvorschrift erstellt.

Ebenfalls einen eigenen ästhetischen Reiz haben Fotografien, die mit Fraktalen verfremdet wurden.

Die Erzeugung derartiger Bilder erfordert leistungsfähige Algorithmen und das Rechnen mit komplexen Zahlen. Besonders aufwändig wird das Ganze, wenn man sich daran macht, animierte Fraktale zu erzeugen; auch dafür finden Sie Beispiele bei mir.

Den Begriff "Pixel" (von picture element) kennt mittlerweile fast jeder, weil er in der Digitalfotografie eine große Rolle spielt. Jedes Pixel eines digitalen Bildes hat zwei Koordinaten x und y, die seine Position auf der Bildfläche beschreiben. Mit Hilfe mathematischer Formeln kann man nun die Koordinaten so umrechnen, dass sie andere Werte erhalten. Dadurch kommt das jeweilige Pixel an einer anderen Stelle im Bild zu liegen. Macht man dies oft genug hintereinander (Iteration), so entfernen sich manche Punkte von ihrem Ursprungsort, während andere in der Nähe bleiben. Man kann nun die Schritte zählen, bis ein Pixel eine vorgegebene Grenze überschreitet, und gibt anschließend dem ursprünglichen Pixel eine Farbe, die von der Zahl der Schritte abhängt und in einer Farbtabelle (color map) festgelegt ist.

Diese Berechnung muss man für jedes einzelne Pixel eines Bildes durchführen, eine Arbeit, die nur mit Hilfe eines Computers zu bewältigen ist. In der folgenden Abbildung ist dies schematisch dargestellt. Diejenigen Pixel, die die Grenze nie überschreiten, sind die Punkte einer Mandelbrot- oder Julia-Menge (benannt nach dem französischen Mathematiker Gaston Julia, 1893 - 1978), je nachdem, wie man den Anfangszustand für die Berechnungen wählt. Nur wenn die verwendete Formel nichtlinear ist, ergeben sich Mengen, deren Randlinie fraktal ist, wobei diese Mengen selbst im Bild eher unspektakulär sind: ihre Punkte haben alle die selbe Farbe.

Das Interessante sind in der Regel die Farben der Punkte, die in unmittelbarer Nähe des Randes der eigentlichen Mandelbrot- und Julia-Mengen liegen, denn hier kann die Farbe sehr schnell, scheinbar chaotisch, wechseln. Und in der Tat spricht man in diesem Zusammenhang auch von "deterministischem Chaos", für das es eine eigene mathematische Theorie gibt, die eng mit der Theorie der Fraktale verbunden ist. Die im wörtlichen Sinne unendliche Vielfalt fraktaler Formen ist darauf zurück zu führen,

dass man beliebige mathematische Formeln verwenden kann, solange sie nur hinreichend nichtlinear sind, und dass man aus den gewonnenen Bildern wiederum beliebig kleine Ausschnitte bilden kann, diese in kleinere Pixel aufteilt und dafür die Berechnung erneut durchführt. Es gibt noch andere Methoden, um zu echten Fraktalen zu kommen, meine hier gezeigten Bilder beruhen aber ausschließlich auf der Berechnung von Mandelbrot- und Julia-Mengen.